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《The Mathematics of Poker》中文翻译
感谢梅有钱（梅老板）的合作翻译（这一篇都是他翻的！）
牌例 12.2 [0,1]全下或弃牌游戏#2
双方有相同的S单位筹码。
双方随机从[0,1]收到一个数。
不是庄位的玩家（被称为防守玩家或者X）放一个单位的大盲。
庄位（被称为进攻玩家或者Y）放0.5个单位的盲注，并且首先行动。
进攻玩家可以要么全下S单位，或者弃牌，也就是放弃小盲。
如果进攻玩家全下，那么防守玩家可以跟注，可以弃牌。
如果摊牌，较小的数字会赢下2/3的底池。
这个游戏与之前的非常相似，我们可以用同样的方法来解决，除了2个显著区别。在之前游戏里，当筹码量较浅时（比如S=1），进攻玩家仍然需要全下75%的手牌，尽管防守玩家也会跟注75%的手牌。这是因为接近1的手牌几乎没有任何价值。但是在这个游戏里，即使最差的牌都有1/3的底池赢率，因为规则限制。所以在筹码量为1时，进攻玩家把筹码放入底池会比弃牌又更高赢率。其次，在之前游戏里，防守玩家用比进攻玩家全下更差的手牌跟注是没有任何赢率的。然而，在这个游戏里，再也不是这样了，因为防守玩家至少会有1/3的底池赢率。
我们把这个游戏分成两类讨论：
第一类：S < 3
当筹码量小于3个单位时，我们可以总结一些关于防守玩家的策略。如果进攻玩家全下，防守玩家会至少得到2：1的赔率。因为防守玩家总是有至少1/3的赢率，所以他总是应该去跟注——也就是说，x = 1。这使得对于防守玩家而言，没有什么策略选项，因为弃牌被跟注所主导。因此，进攻玩家只需要简单地最大化他面对防守玩家的策略就可以：
防守玩家会跟注所有的手牌，因此，如果进攻玩家用y1全下，防守玩家有比y1更好的概率是p = y1，更差的概率是p = 1 - y1。
所以这里进攻玩家应该全下：
因为他在手牌大于y1时都会全下，所以他的阈值y是：
这就是当游戏筹码量小于3时的最优策略，即，进攻玩家只要在满足方程的时候全下，其余时候弃牌，对于防守玩家只需要永远跟注。当我们看这个游戏在不同筹码量时，我们会发现是合理的。比如筹码量小于1.5单位，那么这里进攻玩家有2：1的赔率，即使他被100%的跟注。所以他只要在低于阈值的时候，永远全下。当我们把S替换成1.5时，能看到这符合进攻玩家的所有手牌。
第二类：S > 3
当筹码量大于3时，防守玩家不再有2：1的赔率来进行跟注。所以，他这里不会跟注全部的手牌。实际上，他不能用那些比全下阈值更差的牌进行跟注。如果他这么做，他只会简单地得到1/3底池，而因为筹码量足够深，这会导致期望比弃牌更差。所以，这时候的游戏就相对类似第一个全下或弃牌游戏，除了最好的手牌也只有2/3底池赢率。
我们可以用解决之前游戏的同样无差别方程来解决（调整一些底池分布的地方）。这里的一个特点是，当摊牌，最好的牌可以赢S/3单位，而最差的牌会输S/3单位。
防守玩家跟注概率x，弃牌概率是1-x
让两者相等，从而使Y的全下和弃牌无差别：
对于X而言，弃牌给全下的期望是-1单位，而用x跟注全下的期望是：
正如例子12.1里，进攻玩家全下y手牌（之前我们知道x < y），这些牌里，(y-x)/y的部分是比跟注阈值x要差，而x/y部分比x更好。
让两者相等，从而使X的跟注和弃牌无差别：
所以这里进攻玩家的最优策略就是全下9S/(S+3)2的手牌，而防守玩家跟注9/（2S+3）的手牌。
回忆之前例子12.1，整体打法偏紧：也就是说，当筹码量接近10时，进攻玩家全下大概1/4的牌。相比较这个游戏里，这里进攻玩家要全下(9(10)/(10+3)2) = 90/169，基本上超过1/2的手牌了！防守玩家需要跟注(9/(6+2(10)) = 9/26的手牌，略小于1/3。这看上去可能非常松。那么，这个是正确的？当有10个大盲时，需要全下超过1/2的牌，即使被跟注会2：1落后？
是的。这里看上去矛盾的原因是我们喜欢考虑那种“投机X去赢Y”的情况了，投入一个固定大小，然后有多少成功的可能（通过让对方弃牌，或者摊牌获胜）导致赢一个其他的固定数量。在那个逻辑下，冒险10去赢1的确非常愚蠢，如果对手会跟注1/3的时候。然而，这里并非如此。回顾之前提到的，进攻玩家即使被跟注，他也只会损失S/3，而不是整个S。所以这里进攻玩家只是投入3个单位，有1/3的概率赢1.5个底池的死钱。
当我们比较游戏#2在S>3时和游戏#1的结论，会发现两者更强烈的联系：
游戏#1：
游戏#2：
游戏#2的结论，只要把S替换成S/3就成了游戏#1的结论。这是因为游戏#2的有效筹码量实际上只有S/3 ——也就是每次好牌在摊牌时可以赢下的大小。我们可以用这个有效筹码量的概念来计算游戏的价值，G，通过直接替换S/3到之前游戏#1的公式里。
但是，这只是针对S>3时的游戏价值。还有两个区域的筹码量会有不同的答案。如果S<3/2，那么双方都会玩所有的牌，所以游戏价值是0。而在3/2到3之间，正如我们在第一类里看到的：
注意到这里3个价值区域是连续的，正如我们所预料，那就是：
但是，如果我们看一下x和y的阈值，会发现有些不同。那就是，如果S < 3, x = 1，但是突然当S稍微大于3的时候，x=3/4。这看上去有点不同寻常，但是实际上它说明了策略本身是不连续的，取决于筹码量或者说底池大小。
这两个玩具游戏可以帮助我们理解接受一个事实，也就是最好的牌并不总是能赢下全部的底池，即使是全下或弃牌游戏里。当最好的牌可以赢下整个底池时，那么恰当的打法就是相对紧一些，而防守玩家会有相当大的优势对于大多数筹码量而言。然而，当最好的牌在游戏#2里只能赢下2/3时，恰当的打法就是放松一点，或者与直觉相悖，进攻玩家在各个筹码量直到6bb时都有一定优势。
正如我们在下一节马上要看到的，无限注德州扑克也是相对松凶的。
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