【6upoker】Expert HU 第一卷第四章第一部分 无差性原则(Indifference Principle)(下)

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《Expert Heads Up No Limit Hold'em》(无限德州单挑专家)

4.1 更多下注的翻牌前情况以及无差性原则(下)

我们能用上面的这个原理来完全的解决图4.1所展示的最小加注/3次加注/4次加注/全压模型。在这个模型中会出现很多上述所说的情况,一个玩家持有某些牌时会有两个无差的选择,而这肯定是由于对手做出了某个动作所导致的。下面我们会详细的计算这个模型从而得出对应的GTO策略,假定我们的起始有效筹码为50BB,3次加注的大小是5BB,4次加注的大小是12BB。



参考我们上面所讨论的最小加注/全压模型,这个模型中小盲不打到摊牌的动作有:直接弃牌、加注弃牌、加注-4次加注-弃牌,小盲以不同的频率选择这3个动作,但这3个动作的最终EV是相等的——因为这3个动作中的手牌都是可以随意交换的。对于大盲来说,不打到摊牌的情况有直接弃牌和3次加注弃牌,同样这两个选择最终的EV也是相同的。



在足够深筹码的加注/全压模型中,大盲无法通过频繁的全压去阻止小盲加注所有的按钮。此时无差性原则是不成立的,因为小盲直接弃牌的频率为0。但这样的筹码深度在现实中并不常见,以后我们会专门的分析这种深筹码,这里我们先考虑不打到摊牌的动作频率不为0的情况。



小盲直接弃牌与加注弃牌的EV相同:

这一定是由于大盲足够多的3次加注所导致的。我们假设大盲的3bet频率为X,

                                               【6upoker】Expert HU 第一卷第四章第一部分 无差性原则(Indifference Principle)(下)



49.5BB是我们直接弃牌后的筹码,48BB是我们最小加注被对手3bet后弃牌的筹码,51BB是我们最小加注对手弃牌我们的筹码。解得此时的X=0.5,也就是大盲用50%的手牌进行3bet然后到达决策树中的B点,另外50%的手牌弃掉,这与最小加注/全压模型中的计算结果是相同的,因为这个频率只取决于小盲加注的大小。



大盲3bet弃牌与直接弃牌的EV是相同的:

这一定是由于小盲足够多的4次加注导致的,我们假设小盲的4bet频率为X,

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解得此时的X=3/7。也就是说小盲4bet 3/7的手牌到达决策树的C点而弃掉另外4/7的手牌。



到达C点后,小盲的加注弃牌与加注-4次加注-弃牌的EV是相同的:

这一定是由于大盲足够多的5bet全压所导致的,我们假设大盲全压的频率为X,

 

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解得X=7/17。也就是说大盲全压7/17的手牌然后到达D点。

现在我们来总结一下上面的计算结果。大盲的策略是面对小盲的加注,用50%的手牌去3bet,然后面对小盲的4bet用3bet手牌的7/17去进行5bet全压,这里总的5bet全压范围是50%*7/17=20.6%。我们发现大盲的各种频率都是通过无差性原则的限制来计算出来的!



再来看小盲的策略:小盲在一开始就能将手牌划分成两类,一类是能在决策树E点处能有利可图的跟注大盲全压的手牌,另一类则是所有其他手牌。如果一手牌用来加注-4次加注-跟注全压的EV比加注-4次加注-弃牌的EV要高,那么这手牌的EV也比直接弃牌、加注弃牌的EV要高,因为平衡状态下所有最终弃牌的决定的EV都是相同的。所以说,能够在E点跟注全压的手牌就组成了小盲的加注-4次加注-跟注范围。在E点处,小盲需要跟注38BB去赢一个100BB的底池,所以这个跟注范围对上大盲的全压范围必须要有至少38%的胜率。我们知道大盲的全压频率是20.6%,假定这20.6%手牌就是最强的那部分,那么我们通过软件可以计算得出{22+,A2s+,K9s+,QTs+,JTs+,T9s+,A2o+,KTo+}这25.5%的范围有38%的胜率,而另外的74.5%的手牌会在这里弃牌,这些手牌分布在了直接弃牌、加注弃牌以及加注-4次加注-弃牌这三个动作之中。此时我们仍旧是暂不考虑底牌移除效应的,所以这手牌在哪个阶段弃掉并不影响我们计算每个决策点正确的弃牌频率。



现在我们知道了小盲在E点跟注全压的手牌,我们再来计算它弃牌给大盲全压的频率,这里我们需要再次使用无差性原则。大盲玩家最后的决定是全压或者弃牌给小盲的4bet,此时大盲手中最差的手牌全压后一旦被跟注时没有利润的——这些最底端的范围只有在小盲弃牌的时候才会有正的EV。更进一步来说,最最差的手牌全压时即便小盲弃牌了,这手牌的EV也就是接近于0。同样对于大盲弃牌范围的最顶端也是如此。



也就是说大盲全压范围的最底端以及弃牌范围的最顶端的手牌用来全压或者弃牌都是没有差别的——所以这些手牌通常都会混合打法。大盲全压范围20.6%大概是

{55+,A3s+,K8s+,QTs+,A7o+,K9o+,QJo+},A6o这手牌大概就是弃牌的最顶端以及全压的最底端范围。因此大盲全压A6o或者弃牌的EV肯定是相同的,而这肯定是由于小盲的弃牌频率所导致的。A6o对上小盲的跟注全压范围有0.4214的胜率,假设小盲的弃牌频率为X,

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解得X=0.144。所以在决策点E处,小盲会弃掉14.4%的手牌而用另外的85.6%去跟注全压。

下面我们继续计算小盲的其他频率,因为小盲跟注全压的范围是25.5%,而这25.5%是决策点E处手牌的85.6%,所以得出E点处总的手牌数是29.8%。再往上推,因为小盲加注-4次加注3/7的手牌,而这3/7手牌就是E处的总手牌29.8%,所以得出小盲加注的手牌数为69.5%。也就是说小盲加注69.5%的手牌,直接弃掉另外30.5%的手牌。



经过上面的计算,我们已经大致的得出了这个模型的GTO策略。在这个过程中我们并没有提到任何单独的手牌强度,手牌胜率,而仅仅是利用了无差性原则。



回想一下我们是如何得到小盲的范围:我们先是得出了小盲愿意跟注全压的范围,然后我们得出到达此时决策点时的诈唬范围。在50BB有效筹码以及给定的下注量时,小盲愿意用25.5%的手牌去全压,所以一开始他用25.5的价值牌去加注,而另外44%是诈唬。如果遭遇到了大盲的3bet,小盲会继续用这25.5%手牌去做4bet,外加上4.3%的诈唬,正是这个频率使得大盲会有一部分3bet诈唬的范围。假设小盲开牌范围中没有那44%的诈唬手牌,大盲直接弃牌和3bet诈唬的EV在B点处是不可能相等的——由于小盲不会做加注-弃牌, 3bet弃牌就相当于送钱,所以大盲永远不会做3bet弃牌。实际上,即使小盲位稍微的缩减这个理论上最优策略的诈唬范围(其他范围一致),大盲的最优调整也是不做3bet弃牌。



小测验:如果小盲位用GTO策略中的范围在点A进行加注,但在C点处的4Bet范围除去4.3%的诈唬,那么此时大盲的剥削策略是什么?



正如前面所看到的,我们在设计平衡范围、剥削范围时通常都是先设想一个频率然后再加入部分手牌。在最小加注/全压模型20BB有效筹码时,大盲平时的3bet频率大概是50%,很多玩家都会认为这么宽的手牌范围一定包含了很多很差的牌。然后我们从无差性原则可以看出,我们必须要全压这么高的频率才能不被对手剥削。以后我们同样会在翻牌后以这种频率导向的思考方式来应用无差性原则。



现在我们来看一下最小加注/3bet/4bet/全压模型的真实策略方案,前面我们所有的计算基于不考虑底牌移除效应以及虚构的范围。而真实的频率如下图4.2a所示,在图中我们很明显的看出了什么样的筹码深度下大盲会3bet50%并且全压20.6%的手牌。而图4.2b和4.2c则展示了更加复杂的情况:

【6upoker】Expert HU 第一卷第四章第一部分 无差性原则(Indifference Principle)(下)

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                                    图4.2:GTO策略下最小加注/3bet/4bet/全压模型不同筹码深度的频率。3bet大小为5BB,4bet大小为12BB。



我们所有的计算都是基于无差性原则,但这个原则在大约45BB以下以及185BB以上就不管用了,原因如下:



先来看深筹码游戏:随着我们有效筹码不断加深,大盲的20.6%的全压范围的利润越来越少,因为它冒着太大的风险去对抗一个仅仅12BB的4bet。从无差性原则得出,随着筹码加深小盲肯定会用越来越多的手牌去4bet,只有这样大盲弃牌范围顶端的EV才会与全压范围底端的EV相同,所以我们看到在185BB左右小盲直接弃牌的频率越来越低,因为此时小盲会将这些垃圾牌转化为4bet诈唬。一旦有效筹码量超过185BB,小盲直接弃牌的频率就会降至0%,此时小盲会加注开100%的牌并用3/7的手牌去4bet,因此在决策点E处小盲的弃牌频率也会变高,而这时大盲20.6%全压范围里最差的手牌就无法有利可图的全压了,它必须收紧自己的全压范围。大盲有两个方式收紧自己的全压范围:1)对小盲的4bet弃牌更多 2)用更少的牌去3bet。假设大盲更多弃牌给4bet(打破了7/17:10/17的全压诈唬比),那么小盲的加注-4bet-弃牌策略的EV就会升高。而如果大盲用更少的牌去3bet(弃牌更多给小盲的加注),此时对于小盲来说加注弃牌的EV会远高于直接弃牌,但大盲这样就能维持自己在决策点D处7/17的全压频率(如图4.2c所示),即使降低了3bet的频率。事实证明大盲这个选择从长远来看是最优的。而由于小盲加注弃牌远优于直接弃牌,所以此时小盲直接弃牌的频率就会降到0.即使有效筹码继续加深,小盲依然能用足够多的4bet来使得大盲直接弃牌与3bet-弃牌的EV相同并用更紧的范围去跟注全压。足够深的筹码情况下,小盲会加注开100%的手牌,并用3/7的手牌全压4bet但只用AA去跟注全压。此时大盲的策略是收紧范围,只用AA以及一些带A的阻隔牌去3bet,并且只用AA去全压。



再看短筹码游戏:在足够短筹码的时候,玩家的某次加注很可能就会套池(剩下的筹码有足够的赔率去跟注全下)。例如在16BB左右,大盲3bet之后必须跟注全压;在43BB左右,小盲4bet之后必须跟注全下。这些情况下就又跟最小加注/全压模型一样了。



现在我们来看100BB左右的最优策略:随着筹码变浅,小盲会有更好的赔率去跟注全压,因此它跟注范围就会放宽,而大盲全压的范围由于无差性原则会保持在20.6%左右。而随着小盲跟注范围变弱,小盲的弃牌率会不断的降低,只有这样大盲全压范围的底端才会与弃牌范围的顶端EV相等。所以小盲弃牌给全压的频率以及总体4bet的频率都会同时减少。在45BB左右,小盲的跟注全压范围已经足够宽了,即使大盲全压范围的最底端此时也是有利可图的。实际上大盲这个时候能全压更多的手牌。而一旦大盲开始这样做,小盲加注-弃牌和加注-4bet-弃牌的EV就不再相同了。这就是为什么在45BB有效筹码时小盲4bet弃牌的频率降到0而大盲的全压频率开始突破20.6%。如果筹码继续变浅,大盲的全压频率会持续升高。因为此时小盲会用所有4bet的手牌来跟注我们的全压,因此大盲的全压就相当于跟注小盲全压。与前面的情形相似,随着大盲“跟注”范围变宽,小盲需要大盲在决策点D处有一定弃牌率才能使得自己的4bet有利可图。在筹码降到16BB时,小盲能用所有到达决策点C处的手牌去全下(无论大盲弃牌与否)。16BB有效筹码以下,小盲的4bet频率能远高于之前的3/7,因为此时大盲一旦3bet了就不会弃牌。



小测验:如果翻牌前有平跟的选项,那么情况又会发生什么改变呢?这种情况下平衡状态时无差性原则又是怎么样的?这是一个很复杂的问题,我们会在完整的讨论完翻牌前情况之后再回头来详细解答。下面是一个比较简单的:



很多玩家在翻牌前都不会平跟对手的4bet,而是选择一个5bet或者弃牌的策略(这在现金游戏中是很常见的,但在单挑比赛中会发生的少一点)。假设你在小盲位对上这样的对手,你加注开牌,对手3bet,设计几个标准的下注量大小以及筹码深度,并计算这种情况下达到平衡时大盲的5bet频率。

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