【6upoker】Expert HU 第一卷第四章第二部分 不对称的范围和无差性原则不成立的情况

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             《Expert Heads Up No Limit Hold'em》(无限德州单挑专家)    

                          4.2 不对称的范围和无差性原则不成立的情况

 

 

无差性原则告诉我们:在平衡时,如果一个玩家以多种不同方式游戏一手牌,那么所有这些方式最终都有相同的EV,我们前面通过这个原则探讨了对手的策略。而很多时候实际情况并不是这样的,很有可能其中一个方式的EV是远高于其他所有方式。前面我们研究过的翻牌前模型中,深筹码时大盲全压会有很高的风险,所以它不可能经常这样做,只能收紧范围。而实际上,大盲可以更有利可图的做一个非全压的5bet或者仅仅选择跟注。这就是无差性原则不能适用的最重要的原因,这是与玩家的手牌强度相关的。

 

 

前面我们知道,对手会用大量的跟注来让我们范围的底端诈唬和不诈唬的EV相等。但假设我们的手牌范围远强于对手,那么对手实际上很多有足够多的跟注去阻止我们诈唬。这种现象在翻牌前是很少见的,因为翻牌前大家都有同样非常宽的手牌范围,但翻牌后就大大不同。随着牌局的发展,玩家的每个决定都会使自己的手牌范围变窄,变的更明显。即使是有着完美平衡的好玩家也会碰到一张牌明显增强对手范围的情况。

 

 

下面我们通过一个例子来更好的理解:30BB有效筹码,小盲在按钮最小加注,大盲3bet到5BB,小盲选择跟注。翻牌8h6c5d,这时大盲可以选择过牌弃牌或者持续性下注1/2底池。如果大盲下注,小盲可以选择全压或者弃牌。下面是翻牌后情况的决策树,此时平衡策略是怎么样的呢?

 

                                               

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                                                                图4.3:每一个叶子的数字是小盲最后的筹码,EQ是小盲对手大盲跟注范围的胜率

 

我们可以发现这个决策树与最小加注/全压模型是相似的,但这个模型中的有效筹码量,底池大小,起始手牌范围强度都是不同的,而且手牌的实际强度受翻牌影响很大。我们先不考虑翻牌和各自翻牌前的范围,假设达到平衡时大盲过牌弃牌以及下注弃牌的频率都不为0。那么此时这两个动作的EV肯定是相同的,这时我们就能得出小盲的全压范围。

 

小测验:计算小盲的全压频率使得大盲过牌弃牌与下注弃牌EV相同

假设小盲全压频率为X,那么

  

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解得X=2/3,也就是说小盲以2/3的频率去全压使得大盲两个选择的EV相等。换句话说,小盲必须以2/3频率全压来阻止大盲用100%的范围来进行下注。一旦小盲弃牌率高于1/3,大盲就会用100%范围去下注而永远不会选择过牌弃牌选项。而一旦小盲的弃牌率比1/3还要低,此时大盲就应该更多的选择过牌弃牌。

 

 

为了研究大盲的策略,我们需要给各自玩家指定一个翻牌前的范围。为了简单起见,我们先给两位玩家指定最顶端35%手牌到达翻牌圈{44+,A2s+,K3s+,Q7s+,J9s+,T9s+,A2o+,K6o+,Q9o+,JTo+}。那么此时最高胜率的2/3手牌就是:44+,A4s,K5s-K9s,Q7s-Q8s,A4o+,K6o-K9o,A2cc,A3cc,KQcc,J8cc,Ac3d,Ac3h,Ad3c,A3dd,A2dd,KQdd,Ad3h,Ah3c,Ah3d,A2hh,A3hh,KQhh,这是一个相对合理的小盲全压范围。而大盲跟注全压的范围对上这个范围应该要有至少33.3%的胜率,因此这个是范围是:

  44+,A5s+,K5s-K8s,Q7s-Q8s,A5o+,K6o-K8o,A4cc,K9cc,Q9cc,J8cc,J9cc,T9cc,A4dd,K9-T9dd,A4hh,K9-T9hh,19.23%的手牌。

 

 

再看大盲下注弃牌的范围,我们需要得到大盲弃牌给小盲全压的频率,此时小盲全压范围的最底端全压和弃牌的EV是相等的。从小盲全压的范围中我们得出Qs9h这手牌大概就是最边缘的手牌,这手牌对上大盲的跟注范围有0.319的胜率。假设大盲弃牌给全压的频率为X:

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解得X=0.280。因此在平衡时,大盲28%的时候弃牌给小盲的全压,由于它跟注了19.23%的手牌,所以得出大盲总的下注范围为26.73%,也就是说它的26.73%下注范围中包含了7.5%的诈唬。而大盲在这个翻牌圈有32.58%的手牌(35%手牌中剔除掉含有8h,6c,5d的手牌),所以它必须过牌弃牌32.58%-26.73%=5.85%的手牌。这里我们已经估算出了这个模型中的各个范围,并且与实际的误差不会超过2%。

 

 

小测验:因为在前面我们已经做过多次同样的计算,所以上面我们都是快速的过了一遍,读者请自己手动的详细计算一遍好好理解。也可以选择一些更加接近现实情况的翻牌前范围。

 

 

在这个模型中,我们首先是简单的通过下注量和筹码量来找出小盲的全压频率并估算出它的全压范围,从而通过底池赔率来找到大盲跟注全压的范围,最后再通过无差性原则找出了大盲的下注弃牌范围。

 

 

这套推论成立的基础是我们所作的几个假设。为了使上述推论成立,小盲的范围必须足够强才能以2/3的频率去全压并且最差的牌也能保持持平,而大盲必须有大量的下注弃牌才能使得这个成立,此时无差性原则就无法成立。换句话说,如果大盲在翻牌圈下注100%的手牌,而小盲仍然无法有利可图的全压2/3的手牌,那么此时大盲下注弃牌的EV肯定是高于过牌弃牌的——所以大盲永远会选择下注弃牌。

 

 

那如果小盲的手牌范围非常强呢?假设小盲的范围很强,即使大盲永远不下注弃牌的情况下它依然能有利可图的用2/3的手牌去全压,那么此时小盲就会不停的去全压,而大盲无法阻止小盲这样做。所以它只能将弱牌用来过牌弃牌。

 

 

因此,大盲的下注弃牌频率是个关键。当小盲的范围非常强时,这个频率就会降低至0%;当小盲的范围非常弱时,这个频率就会升到100%。现在我们假设T是大盲到达翻牌圈的手牌范围(上述例子中T=0.3258),C是大盲的下注-跟注范围(上述例子中C=0.1923),F是大盲的下注-弃牌范围(上述例子中F=0.075),EQ是小盲全压范围底端的对上大盲跟注范围的胜率:

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这个结果给出了大盲下注弃牌的比例,这是否与我们前面所得到的F相同呢?

 

 

现在我们来看下这个无差性等式成立的条件:首先因为负的频率没有意义,所以F必须大于等于0。其次,F的值不能高于T-C,因为光是下注弃牌和下注跟注的手牌数是不可能超过到达翻牌圈的总手牌数的。先来看第一条限制:

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小盲手牌底端的范围胜率必须低于5/12,否则小盲的手牌范围就太强了,即使大盲永远不弃牌,小盲用另外的1/3范围全压也比弃牌更有利可图,那么小盲就会全压100%的手牌,此时大盲就会优先选择过牌弃牌。这种情况下大盲总体范围就会太弱了,任何诈唬都能打走它。

 

 

再看第二条限制:

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我们注意到C/T是大盲的下注跟注百分比,而T/C仅仅是它的倒数。假如EQ<2/3-1/4*T/C,这就意味着大盲下注弃牌的手牌数比它其实的手牌数还要多,这是不可能的。这只能说明此时小盲的范围实在是太弱了,小盲另外的1/3范围全压对上大盲的所有手牌范围都无法做到持平。这种情况下,小盲就会使自己的全压频率低于2/3。因为小盲的范围实在太弱了,无法阻止大盲用所有的弱牌去诈唬。

 

 

小测验:这些标准会随着筹码量以及下注量发生怎样的变化?

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图4.4:左下角的部分代表了使得无差性原则成立的大盲、小盲的手牌强度

 

 

图4.4中我们以EQ为纵轴,C/T为横轴建立起平面坐标。EQ可以简单的看作是小盲手牌的强度,C/T则看做大盲的手牌强度。从图中我们可以看到当两个不等式同时成立的区域。在EQ水平线之上的部分,小盲的范围太强了,此时大盲永远不应该做下注弃牌。在曲线下面的部分,小盲的范围太弱了,大盲永远会选择下注弃牌。只有在这两根曲线围成的区域中,无差性原则才能成立。

 

 

我们要注意这里所提到的真正影响GTO策略的牌力强度。第一,只有双方手牌范围顶端那些他们愿意去全压的手牌才会有影响,那些在某个决策点放弃掉或者全压太弱的牌并不重要,因为它们实际上并没有真正的摊牌。然后对于小盲来说,它另外的33%手牌也尤为重要(在上述下注量和有效筹码量情况下),小盲的策略几乎就取决于这部分的手牌。如果这部分手牌比较强,那么即使大盲持续性下注后从来不弃牌,小盲也能100%的去全压;如果这部分手牌比较弱,那么即使大盲100%的持续性下注,小盲也必须弃牌。如果上述两种情况都没有发生,那么小盲就会用它最强的67%手牌去全压。这个范围越强,小盲全压的EV就会越高,但这并不会影响小盲的策略。但小盲的全压范围会大盲跟注全压的范围,因为大盲的范围就是由对抗小盲全压的手牌加上一些下注弃牌的组合组成的。

 

 

在前面的例子中,我们在假定两个玩家到达这个翻牌圈的手牌范围是相同的基础上找出了平衡时双方的策略(至少在这种有利于小盲对持续性下注进行全压的筹码深度下,此时双方在这个翻牌圈都会有很多相对的强牌和弱牌)。在真实的牌局中,大盲的范围可能会非常强,它能将所有的弱牌转为诈唬去下注。特别是在3bet过的底池中,由于大盲翻牌前的侵略性,大盲通常会有更强的范围,因此它大多数情况下都会在翻牌圈进行下注。由于知道自己的范围在理论上更强,大盲很容易会过度的利用这一点而导致持续性下注过多。

 

 

此外,大盲的持续性下注频率还会大大的受牌面结构的影响。一些翻牌面会很明显的对其中一个玩家更有利,上面的8h6c5d翻牌面就是一个很典型的例子。我们应该在牌桌外花费一些时间去研究下不同的翻牌前范围在同样的翻牌圈上会有什么不同的表现,这些不同的范围又应该如何游戏。在下一章中我们会有一个新的分析工具来帮助我们思考并更形象的理解。

 

 

尽管双方在翻牌前可以有几乎相同的范围,但在翻牌后由于牌局的进行的不对称性,这种情形就会变得非常罕见。通常这种一个玩家的范围会明显强于另一玩家的情况会发生在后面的几条街中,因为前面街的下注会大大的缩窄玩家的手牌范围,后面街中发出的牌就会很大程度的帮助一个玩家而削弱另一个玩家。当这种情况发生时,我们就应该抓住机会利用这一点来占据优势。越快的发现利用这些点,就能帮我们更有效的获利。

 

 

小测验:考虑一些不同的翻牌,翻牌前范围以及有效筹码,或者一些你最新游戏的3bet和4bet底池,模拟这一节中的情形:大盲决定过牌弃牌或者下注,而小盲在决定全压或者弃牌,考虑此时的平衡策略。大盲会下注弃牌所有的空气吗?还是过牌弃牌所有的空气?还是时而过牌时而下注呢?如果下注量以及翻牌前范围固定,那么翻牌圈结构会对平衡策略有什么影响呢?

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