【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)

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所属分类:扑克教学
摘要

《The Mathematics of Poker》中文翻译正态分布当我们从一个分布中选取一个随机结果时,它输出的值必定是其隐含的分布中的某一个可取到的结果。我们称这样的一个值为随机变量。假设我们要扔一枚硬币。扔硬币的结果(正或反)就是一个随机变量。现在我们分别用数字1(代表正)和数字0(代表反)标记其输出结果。那么扔硬币的结果要么是1(50%的可能性)要么是0(50%的可能性)。如果我们扔多次硬币,并将其输出结果加总,那么我们就可以得到一个值,它代表了一系列随机变量输出结果的总和,我们称之为样本(“正,反,正,正,正,反,正”)。而样本值就是其样本背后对应的数字(“1,0,1,1,0,1”)。

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《The Mathematics of Poker》中文翻译

【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)

正态分布

当我们从一个分布中选取一个随机结果时,它输出的值必定是其隐含的分布中的某一个可取到的结果。我们称这样的一个值为随机变量。假设我们要扔一枚硬币。扔硬币的结果(正或反)就是一个随机变量。现在我们分别用数字1(代表正)和数字0(代表反)标记其输出结果。那么扔硬币的结果要么是1(50%的可能性)要么是0(50%的可能性)。如果我们扔多次硬币,并将其输出结果加总,那么我们就可以得到一个值,它代表了一系列随机变量输出结果的总和,我们称之为样本(“正,反,正,正,正,反,正”)。而样本值就是其样本背后对应的数字(“1,0,1,1,0,1”)。

 

现在我们扔100次硬币,并记录其中“正”出现的情况,也就是“1”出现的次数。这个样本的期望值为50,而每次的扔硬币的期望值为0.5。

 

而单次扔硬币的方差和标准差的计算如下:

【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)=(1/2)(1-1/2)2+(1/2)(0-1/2)2=1/4

【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)=1/2

从之前的章节介绍中我们已经知道方差是可以加总的。

因此扔100次硬币的方差为25。

与单次扔硬币有标准差一样,一个扔硬币的样本也有其标准差。但是,与方差不同,标准差没有可加性。但是两者之间仍然有相关性。

对于N次实验,其方差【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)与单次实验的方差【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)有如下关系:

【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)

因此

【6upoker】扑克中的数学-11:正态分布(引)

标准差的平方根关系是一个重要的结论,因为它向我们展现了标准差随着实验次数的增多是如何变化的。如果我们再一次扔硬币,其标准差为1/2,而如果我们扔100次,其标准差不是50,而是5,因为100的平方根是10。另一个显而易见的地方是,100次扔硬币的方差是25,而25的平方根是5,当然就是其标准差。

一个样本输出结果的分布就是一个概率分布,并被称为抽样分布。一个统计学的重要结论,中心极限定理,描述了抽样分布与其背后隐藏的概率分布的关系。中心极限定理告诉我们的是,随着样本数量的增加,样本结果的和的分布会逐渐趋向于一个特殊的分布---正态分布。

注:

本节一些内容可能有些难懂,因此我特意在此处对一些难点做一些解释,希望可以帮助大家理解,毕竟这节如果看不懂的话,之后的阅读会更难。

本节的第一个难点是“样本”与“样本值”。简单的说,“样本”就是扔若干次硬币后,把每次正、反的情况都记录下来的结果;而“样本值”就是以具体的数字对应各个“样本”,而有了具体数字之后,就可以做出数学方面的计算。

本节的第二个难点在于样本的标准差与方差的计算。上一节中已经介绍了方差与标准差的基本概念,其中已经介绍了单次实验的方差与标准差的计算,如果有忘记的读者可以再回顾一下。

上一节中还提到的一个概念就是“可加性”,简单的说,就是扔一百次硬币的方差,就是扔一次硬币的方差的100倍。但标准差是没有可加性的。那我们如何计算多次实验的方差呢?其实并不难,因为我们已经知道多次实验的方差如何计算了,而标准差其实就是方差的平方根。再结合文中给出的公式的话,相信现在大家已经可以理解样本方差与标准差的计算了。

本节的最后一个难点在于本节的最后一段话中的几个概念,也就是“抽样分布”、“中心极限定理”、以及“正态分布”。首先要注意一点,“抽样分布”与原概率分布是不同的,就以扔硬币为例,理论上我们是不可能得到它的真实的概率分布的,因为从定义上说,我们必须要进行无穷无尽次实验,才可以达到真实概率分布。而“抽样分布”的话,举个例子就是扔100次硬币,记录每次扔硬币的结果,以这些结果来推断真实的概率分布。当然一般情况下,样本越多,就越接近真实概率分布。在统计中,我们都是用“抽样分布”来估算真实概率分布的。而“中心极限定理”简单讲的就是随着样本量的增加,任何一个“抽样分布”的和分布都会逼近“正态分布”,这也就是正态分布为什么这么重要的原因了。在之后的几节中本书都会继续讲解正态分布方面的内容。

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