【6upoker】扑克中的数学番外篇(1):没有价值的下注一定是负EV的吗?(上)

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         这个专栏终于开始更新啦!原本打算在第一篇中讲一些关于排列组合的基础内容,不过,恰好最近碰到了一个有趣的牌例,其中涉及到了很多扑克中的数学的应用,因此改变了原计划,以这样一个牌例来开始这个专栏。我会尽量把计算过程写的简便又清晰,如果有对等式中有疑问的,也欢迎大家询问。

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         这个专栏终于开始更新啦!原本打算在第一篇中讲一些关于排列组合的基础内容,不过,恰好最近碰到了一个有趣的牌例,其中涉及到了很多扑克中的数学的应用,因此改变了原计划,以这样一个牌例来开始这个专栏。我会尽量把计算过程写的简便又清晰,如果有对等式中有疑问的,也欢迎大家询问。

       相信大家在学打扑克的过程中都听到过这样一句话:“如果你的下注不能让比你差的牌跟注,那么你的下注就是没有价值的。”这句话在我自己理解扑克的过程中,启到了非常重要的作用,也被大家广泛认为是扑克重要的至理名言之一。然而,之前我对这句话的认识,一般认为就是“没有价值”与“负EV”是等价的,当然,如果只在河牌圈,这两个概念确实是等价的(在这里不赘述,以后会考虑做一个证明)。但是在翻牌圈、转牌圈,这两个概念是否仍然始终保持一致呢?让我们来看一个牌例。

    【6upoker】扑克中的数学番外篇(1):没有价值的下注一定是负EV的吗?(上)

    

         这是我上周打的一手牌,打完以后发上来与大家讨论。首先很感谢各位道友的踊跃回答,特别是halimyok,给了我很大的启发。先简单分析下这手牌,一个起手有点松的fish对我做3bet,我在有利位置手持88选择跟注,flop764彩虹面,我超对听卡顺,对手持续下注,我跟注;转牌又是张7,形成公对面,对手过牌,此时hero?

        这里大家比较同意的对手的范围是miss掉的Ahigh、Khigh以及一些超对,也许也会有一些fullhouse、三条,听牌其实不多,55?两方片高张?(感觉会更倾向于在转牌继续开枪)。我的88在这里属于标准的没有价值的成手牌,对手在转牌能call我且比我差的牌的范围非常之窄,之后我自己也认为这手牌转牌的bet有待商榷。然而,这手牌在转牌的下注一定是负EV的吗?在什么条件下它可能是正EV的呢?

        我们先假设一个最简单的模型(可能不是那么接近真实,但已具备非常高的可实现性):

        hero的策略是:

        1.转牌check,河牌如果对手下注(且有高张)就弃牌,否则选择跟注;

        2.转牌下注,对手raise就弃牌,对手跟注的话河牌就放弃。

 

        villain的策略是:

        1.如果对手转牌过牌,则河牌总是拿超对以上牌力下注;如果河牌有高张,则也拿垃圾牌下注;否则选择过牌

        2.如果对手转牌下注,则用超强牌加注;一般牌力(但仍然强于88)跟注,河牌摊牌;放弃所有非成手牌。

 

        这是一套比较呆板的策略,主要是为了计算的简便,但个人感觉还是符合一定牌理的。

 

        好我们现在开始计算,首先确定各种参数:底池大小为p;hero可能在转牌下注x=kp(k>0);villain手持弱牌概率为q,强牌概率为1-q(忽略也是88的概率);河牌出高张的概率为50%。

 

        那么,hero在转牌过牌的EV是:

        50%*q*p=0.5pq(只有当对手手持弱牌且河牌没有出高张时才有收益,否则均为0)

        而hero在转牌下注的EV是:

        q*p(对手转牌垃圾牌直接放弃)+(-x)*(1-q)(对手牌力强于88的损失)=q*p-kp*(1-q)=pq-kp+kpq=(q-k+kq)p

 

        将这两个EV值相减:0.5pq-(q-k+kq)p=(k-kq-0.5q)p

 

        若它们的差大于0,即(k-kq-0.5q)p>0,等价于k>kq+0.5q=(k+0.5)q,即q<k/(k+0.5)时,check的EV高于bet的EV;

        若它们的差小于0,即(k-kq-0.5q)p<0,等价于k<kq+0.5q=(k+0.5)q,即q>k/(k+0.5)时,check的EV高于bet的EV;

        若它们的差等于0,即(k-kq-0.5q)p=0,等价于k=kq+0.5q=(k+0.5)q,即q=k/(k+0.5)时,check与bet是无差异的;

        而在本例中,k=1/3,我们可以算出均衡点q为2/5。也就是说如果对手的非成手牌比例在40%以下时,check是更好的选择;如果对手非成手牌比例在40%以上,那么bet是更好的选择。

        好,第一篇就讲到这里,下一篇我们会讨论对手的手牌中成手牌比例,以及设计更复杂的模型的分析方法,欢迎大家持续关注。

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