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《The Mathematics of Poker》中文翻译
牌例4.2
$30-60限注的德州扑克游戏。牌手A手持AcAd。牌手B手持9h8h。公告牌是Kh7c3s2h。底池为$400。牌手A先行动。如果两位牌手都拥有完全信息，他们应该如何行动呢？
你很可能会这样猜测双方的行动：A下注，B跟注。这是有利可图的，然而，我们检验其背后的数学原理是因为它提供了一个对这种类型的分析和底池赔率概念的完美的介绍。
如果A率先过牌，那么B很可能也随后过牌。如果B下注，他马上就会损失他下注量的3/5以上（因为他只有大约1/5的胜率），另外还有A过牌加注可能另他损失的EV。在河牌不会有任何的下注，因为双方在那时都已经明确知道哪方赢得了底池。也就是说，任何来自获胜手牌的下注不会得到跟注，所以底池会直接给获胜方。
既然剩下的44张牌中有35张会令AA取胜，我们首先利用前面的公式计算一下A过牌的EV：
现在考虑B的选项。同样的，B还是不会加注，因为他只有大约1/5的胜率（44张牌中有9张出路）而且A永远不会弃牌。因此B或者选择弃牌，或者选择跟注。
既然B跟注的收益大于弃牌的收益，那么他必然会选择跟注，这也会影响到A的行动。A下注的EV是：
对比A过牌与A下注的EV，我们发现A通过下注获得了多余的$35的收益。这个结果印证了一个成牌与听牌对抗的主要定律：在成牌对抗听牌时，成牌总是下注。
关于这条定律有一些特例，我们会在之后的一些更复杂的听牌对抗成牌的游戏中看到它们。现在让我们考虑B的策略。我们已经发现只要B跟注的EV大于0时他就会选择跟注。我们可以通过解一个不等式来找到所有的B会跟着的情况，另x表示B赢下底池的概率：
因此只要B的胜率大于3/26,他就会选择跟注，而在这个例子中，显然是可以跟注的。就像我们在第一部分讨论过的那样，我们也可以说B的胜率至少要在23：3。我们一般也成这样的关系是B的底池赔率。如果B的胜率比值要比他的底池比值小，那么他就应该跟注。底池赔率是计算EV的一个捷径——如果底池有X，我们需要跟注Y；而我们的胜利是W比Z，那我们的决策就是基于这两个数值比之间的关系来决定的。
这给了我们成手牌对抗听牌情形的第二个定律：
在成手牌与听牌对抗的情形中，听牌如果跟注并且减去跟注的筹码量之后还能获得正EV的话，那么听牌就会选择跟注。
关于这个定理也有不少的特例，通过学习单个手牌对抗手牌范围来检验这样的情形之后我们会发现，并不能简单的值通过底池赔率来判断你的跟注是否是有利可图的。但是，底池赔率计算仍然是非常有用的，并且是一个很实用的帮助我们在牌桌上估算EV，判断游戏听牌是否是合理的，是牌桌上的利器。
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