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《The Mathematics of Poker》中文翻译
第七章
精确制导，第一部分：手牌暴露的情形
剥削打法分为两部分，第一步就是我们第五章中讲到的阅读对手的手牌范围和策略，第二步是借鉴第一步的信息采取相应的决策判断。这里的步骤就比较简单了，计算各种决策的EV然后选择期望最高的决策。
在计算对对手的EV时，我们应该依次考虑他可能拿的每一手牌，然后权衡对手手牌分布下的EV值。当我们考虑每一种情况时，我们也只用分析考虑对抗他单一的已知手牌，这样我们就有点像简单地摊开牌明打，可以从中学习观察。有人可能会说这样就让扑克变成了十分简单无趣的游戏，增强牌力的听牌出现时下注，胜率不够彩池赔率时弃牌，当然这种情况是很多，我们第四章也提到了。但是我们会发现也有很多有意思的情况，就是最为明显或是仅凭感觉的判断并不是正确的决策。
（牌例7.1为7牌梭哈案例，暂时删去）
牌例7.2
接下来我们讨论另一个限注扑克的案例。我们以开注大小为变量来研究限注扑克游戏。
不同于一般的限注扑克，它有一个特殊的规则，最小下注至少一个底池，筹码不足一个底池就得全推，又称作严格限注德州扑克。它比我们常说的下注范围在最小加注量与底池之间的限注扑克本质上更为简单。
玩家X：As Ad
玩家Y：8c 7c
翻牌是：9c 6c 2d
（这里我们为了便于讨论，排除A对后门葫芦听和78后两对的情况，只考虑78每条街击中15张补牌与否）
我们可以马上计算出直接发两张牌玩家Y的概率：
P(Y胜)=1-p(两次都没发出补牌)
P(Y胜)=1-（30/45）*（29/44）
P(Y胜)=56.06%
底池100$，X在前位，不同下注尺度会出现怎么样情况呢？
情况1：短筹码
我们假设后手还有$50，,这种情况下，如果两边都选择过牌，Y是占优的，因为他有两头顺带听花的56.06%胜率，如果X下注，Y显然会选择跟注，可得X的EV：
<X，X下注Y跟注>=p(X胜）*（新的底池大小）—(下注大小）
<X，X下注Y跟注>=[1-p(Y胜）]*（新的底池大小）—(下注大小）
<X，X下注Y跟注>=(1-0.5706)*($200)-$50
<X，X下注Y跟注>=(0.4394)*($200)-$50
<X，X下注Y跟注>=$37.88
这是两边在翻牌打到全下情况的EV，不管是哪边选择的下注。显然如果X前位过牌，那么Y可以通过简单地下注来保证X的EV不超过这个数值。那么X会有足够的底池赔率来跟注，最后会得到相同的EV。
如果两位玩家都在翻牌圈过牌，Y玩家也没有在转牌击中听牌（30/45的情况下），接着X可以选择在转牌下注。这种情况下，X有29/44的胜率。当然Y凭借超过3：1的底池赔率也会跟注，于是X的EV就有：
<X，在转牌下注>=[p(Y错过转牌)][p(X获胜)*(新底池大小)—(下注大小)]
<X，在转牌下注>=(30/45)[(29/44)*(200)-50]
<X，在转牌下注>=$54.55
我们可以看到如果双方都在翻牌圈过牌，并转牌打光的情况，比在翻牌圈打光，X有着更高的EV。当然如果转牌Y击中补牌，X只需要简单弃牌就行，所以我们得出X在翻牌过牌会是更好的选择。
但是，Y玩家也同样知道这一点。既然Y可以在翻牌通过下注限制X的EV至$37.88，在翻牌的行动应该会是：过牌——下注——跟注。主要X的牌在翻牌的摊牌价值为($100)*(1-0.5606)=$43.94，因此翻牌后的下注可以使得他的权益下降超过$6。
情况2：中筹码
假设筹码量为$400，跟之前一样，如果双方在翻牌圈打光，Y以56.06%胜率有略微优势。
如果X下注那么Y有三种选择：弃牌加注到$400或者选择跟注$100。如果他弃牌，那么X的权益是$100。
<X，下注；Y，弃牌>=$100
如果他选择加注全下，那么X的权益是：
<X，下注；Y加注>=p(X胜）*（新的底池大小）—(下注大小）
<X，下注；Y加注>=[1-p(Y胜）]*（新的底池大小）—(下注大小）
<X，下注；Y加注>=(1-0.5706)*($900)-$400
<X，下注；Y加注>=(0.4394)*($900)-$400
<X，下注；Y加注>=-$4.55
如果Y跟注，可能会发生两种情况：
15/45的情况Y击中了听牌，那么X会净损失$100。
<X，下注；Y跟注|Y击中听牌>=-$100
30/45的情况Y没有击中听牌，牌局变成了一个底池赔率的游戏：
<X，下注；Y跟注|Y没有击中听牌>=p(X胜）*（新的底池大小）—(下注大小）
<X，下注；Y跟注|Y没有击中听牌>=(29/44)*($900)-$400
<X，下注；Y跟注|Y没有击中听牌>=$193.18
因此X的总权益是：
<X，下注；Y跟注>=(15/45)(-$100)+(30/45)($198.18)
<X，下注；Y跟注>=$95.45
我们在这里以X的视角计算EV——既然这是一个单挑游戏，没有其他选手可以分走底池中的任何一块钱，那么Y选择最大化自己的EV或者最小化X的EV的效果是一样的。因此显然如果X下注$100的话，Y选择加注全下是三个选项中最好的选择。
同样地，X也可以选择过牌。如果X过牌，那么Y可以选择过牌或者下注。
如果Y过牌了，那么我们又会有两种结果发生。15/45的情况下Y会击中，而X的净损失为$0。30/45的情况下，Y没有击中，X会下注满pot并得到跟注。
那么X的总EV会是：
<X过牌；Y过牌>=[p(Y获胜)(X的底池价值)]+[p(X获胜)(X底池价值-下注大小)]
<X过牌；Y过牌>=(15/45)($0)+(30/45)[(29/44)($300-$100)]
<X过牌；Y过牌>=$65.16
Y也可以选择下注。如果X加注全下，他又会得到-$4.55的EV，而如果他跟注他会得到$95.45。
下表对X的EV做了一个总结：
|
Y的行动 |
|||||
|
X的行动 |
过牌 |
下注 |
跟注 |
加注 |
弃牌 |
|
下注 |
$95.45 |
-$4.55 |
$100 |
||
|
过牌 |
$65.15 |
||||
|
过牌-加注 |
$65.15 |
-$4.55 |
|||
|
过牌-跟注 |
$65.15 |
$95.45 |
从这张表格中，我们可以发现如果X过牌了，他最少会收获$65.15（此时Y会随后过牌）。因此在这样一个筹码深度，在翻牌上的行动会演变成过牌-过牌。没有一位选手会选择下注；如果X下注，Y可以简单地选择全下来最大化自己的胜率优势；而如果Y选择下注，X会选择跟注，从而在转牌圈利用他的胜率优势来最大化自己的EV。同时要注意到随着后手筹码量的增加，X可以通过下注收获EV。在短筹码的情况下，X的下注会损失EV（与他的摊牌权益相比）。但是在这里，X可以通过翻牌后的下注收获$65.15-$43.94，或者说$21.19。
情况3：深筹码
最后这种情况我们就假设筹码量为$1300，或者3倍底池加注起步。
我们分三种子情况来计算EV：
子情况A：翻牌圈无人下注
这种情况下，双方EV跟之前讨论的没有变化，也就是EVA=$65.15
子情况B：翻牌圈一倍底池的下注
按照我们之前的数据可得 EVA=$95.45
子情况C：翻牌圈两倍底池的下注
如果转牌Y击中听牌，X的权益是-$400，如果没有击中，X前位推掉，Y跟注，X有29/44的概率对抗Y的听牌胜率。
子情况D：翻牌圈双方全下
这就很简单的计算摊牌胜率就可以了：
<X，翻牌圈3bet>=(1-0.5606)($2700)-$1300
<X，翻牌圈3bet>=(0.4393)($2700)-$1300
<X，翻牌圈3bet>=$-113.62
综上所述，我们可以总结出一些牌手玩法基于权益的逻辑规律。
1）X不应该在翻牌圈下注
如果这样做了，Y如果全下，从子情况D可得X的EV会减少。
2）Y不应该在翻牌圈主动下注
如果Y下注，X如果平跟，从之前C可得Y的EV会减少。
3）对于X而言，相比情况B，X更倾向A
如果让X在不下注和一倍底池加注中选择，他会选择一倍底池下注
4）对于Y而言，相比情况A，Y更倾向B
如果让Y主动下注一倍底池下注和过牌中选择，他会选择过牌。
从这些规律中，我们可以总结出X,Y的策略。两位玩家都不愿意被动做第二次下注。但是，他们会根据自己的意愿选择是否做第一次下注。因为当X想主动下注时，Y跟注时，X的EV能达到$95.45。值得注意的是如果Y弃牌，那么X的EV也只有$100。这个牌例中我们可以看到翻牌圈主动下注增加了不少价值，实际上这手牌如果X主动下注后，他的权益会从从$43.94翻倍到$95.45。
当一手成牌由强听牌补成的时候，我们越早打光越有利，因为后续我们更多抽牌去听。与此相反，如果是成牌，只需要留足够的后手，在对方下条街听牌破产时惩罚他。如果只剩下两个底池的后手筹码时，如果成牌主动下注，免不了被听牌推到全下。所以我们更倾向成牌节约筹码，延缓下注时机，等到对手转牌没听到时拿听牌价值。但我们还有3个底池的时候，最好是在翻牌圈开一枪，因为我们清楚，在转牌圈，听牌是不能阻挡我们继续做一倍底池下注的。
让我们稍微修改一下手牌，把Y的补牌减少到14。如果还有三个底池的后手，尽管Y十分渴望赢下底池，面对对方翻牌圈下注也只能弃牌，因为你不仅仅要面对翻牌圈的一倍底池下注，还要承受转牌圈的下注压力。
让我们回到主题，这是严格限注扑克，如果是普通限注扑克，下注量从任意量到一倍底池，会怎么影响EV呢？
为了验证这种情况，我们先假设双方都有两倍底池后手筹码量。
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